O que é recursividade - conceitos e aplicação



Recursividade

O que é recursividade? Bem, recursividade não é um comando, mas uma "habilidade" de uma função chamar a si mesma. Isto não é privilégio apenas da linguagem C, muitas outras linguagens como Java, Visual Basic, entre outras também é possível ser feito isso.
Mas é importante entender este conceito, pois ele é muito útil e pode ajudar a deixar seu algoritmo muito mais simples.

Como fazemos uma função chamar ela mesma?

É simples, basta escrever no código da função, a função que está sendo criada como se ela já tivesse sido criada antes. Parece estranho isso, mas vamos imaginar um exemplo simples: Temos um programa - sabemos que o código do programa está todo dentro da função MAIN - se quisermos reiniciar o programa basta chamarmos a função MAIN novamente.


Para mais informações acesse o arquivo PDF abaixo:

Trabalho: Carlos Eduardo Rodrigues Alves


Jogar e conhecer a História do Jogo Torre de hanoi



História da Torre de Hanoi

 A torre de hanoi, também conhecida por torre do bramanismo ou quebra-cabeças do fim do mundo, foi publicada em 1883 pelo matemático frances Edouard Lucas, com o pseudônimo Prof. N. Claus (de Siam), um anagrama de seu nome.

A publicação dizia que o jogo vinha do Vietnã, sendo popular também na China e no Japão, e acompanhava a caixa do quebra-cabeças.

A publicação também oferecia mais de um milhão de Francos para quem resolvesse o problema da Torre de Hanoi com 64 níveis, seguindo as regras do jogo, indicando que o número de movimentos seria 2 elevado a 64 menos 1 = 18.446.744.073.709.551.615 o que daria cerca de 585 bilhões de anos, se cada movimento fosse feito em 1 segundo.

Edouard Lucas foi inspirado por uma lenda Hindu que falava de um templo em Bernares, cidade santa da Índia, onde existia uma torre sagrada do bramanismo, cuja função era melhorar a disciplina mental dos monges jovens. A lenda dizia que, no início dos tempos, foi dado aos monges de um templo uma pilha de 64 discos de ouro, dispostos em uma haste, de forma que cada disco de cima fosse menor que o de baixo. A atribuição que os monges receberam foi transferir a torre, formada pelos discos, de uma haste para outra, usando a terceira como auxiliar com as restrições de movimentar um disco por vez e de nunca colocar um disco maior sobre um menor. Os monges deveriam trabalhar com eficiência noite e dia e, quando terminassem o trabalho, o templo seria transformado em pó e o mundo acabaria.
Em 1884, outro matemático frances, chamado De Parville, desenvolveu a seguinte história, que também costuma ser associada à Torre de Hanoi.

No grande templo de Benares, debaixo da cúpula que marca o centro do mundo, há uma placa de bronze sobre a qual estão fixadas três hastes de diamante, cada uma com a altura do osso cúbito do braço e tão fina como o corpo de uma abelha. Em uma dessas agulhas, Deus, quando criou o mundo, colocou 64 discos de ouro puro, de forma que o disco maior ficasse sobre a placa de bronze e os outros decrescendo até chegar ao topo. Isto se constituiu na torre do bramanismo. Dia e noite, os monges transferiam incessantemente os discos de uma haste para outra, de acordo com as leis fixas e imutáveis do bramanismo, que exigiam que os monges nunca movessem mais de um disco por vez e nunca deixassem um disco maior ficar sobre um menor. Quando os 64 discos fossem transferidos para outra haste, a torre, o templo e as pessoas seriam transformadas em pó e, com um estrondo, o mundo desapareceria.

O sol está em atividade há cerca de 5 ou 6 bilhões de anos e deverá continuar por igual período, quando entrará em colapso. Nessa fase, a camada de hélio no interior do sol terá crescido bastante e as camadas exteriores expandidas o suficiente para englobar a Terra, destruindo-a. Será o fim do mundo. Depois disso, os gases serão expelidos e o sistema solar será transformado numa estrela anã. Como a Terra tem cerca de 5 bilhões de anos, devendo durar igual período e a Torre de Hanoi demoraria 585 bilhões de anos para ser resolvida, o mundo realmente acabará, mesmo antes do término do quebra-cabeças. Até lá a humanidade já terá sido extinta ou terá tecnologia suficiente para mudar-se de planeta.
Desde 1883, surgiram muitas edições do quebra-cabeças "Torre de Hanoi". Várias delas, incluindo a edição inicial, podem ser vistas no PuzzlesMuseum.

Cálculos de Diferencial e Integral



Introdução
           
O Cálculo Diferencial e Integral está fundamentado em um conjunto de operações envolvendo quatro operadores: limite, diferencial, derivada, e integral. A análise teórica desses tópicos nos livros texto de Cálculo Diferencial e Integral [1-4] encontra-se bem desenvolvida, principalmente do ponto de vista do rigor matemático. Talvez devido a esse rigor matemático associado à abstração conceptual que o assunto exige, e a falta de preparo dos alunos em absorver conceitos e idéias abstratas, parece que esses itens são apresentados de forma isolada, como se a ligação entre eles fosse puramente matemática. Na realidade existe, além da relação matemática, uma ligação física muito forte entre esses operadores que pode ajudar o aluno de graduação a compreender melhor o significado e a aplicação dessa importante ferramenta matemática. Através do limite se chega na diferencial e na derivada. A integral é uma operação sobre a diferencial; o resultado mais simples de uma integral é uma diferença, cuja aplicação é fundamental nas Ciências Exatas.

Solução1
Solução2


Cálculo da área de um Cone



Cone e seus elementos: base, vértice, eixo, altura, geratriz, superfície lateral, superfície do cone, seção meridiana. Cones: circular, elíptico, reto e oblíquo. Áreas lateral e total do cone. Cone equilátero.
Resolução



cone de revolução é gerado pela revolução de um triângulo retângulo, em torno de um dos seus catetos (eixo de revolução), dando uma volta completa.
Exercícios


Cálculo do peso ideal




Calculadora IMC
Peso: kgs
Altura: m cm
Dieta e Saude

Calculadora Peso Ideal
Sexo: masc
fem
Altura: m cm
Dieta e Saude

Cálculo de Medidas



Introdução
As Ciências chamadas Exatas (a Física, a Química, a Astronomia, etc.) baseiam-se na "medição", sendo esta sua característica fundamental.
Em outras Ciências, ao contrário, o principal é a descrição e a classificação. Assim, a Zoologia descreve e classifica os animais, estabelecendo categorias de separação entre os seres vivos existentes.
Todos temos uma certa noção do que é medir e o que é uma medida.
O dono de uma quitanda não pode realizar seus negócios se não mede; com uma balança mede a quantidade de farinha ou de feijão pedida. Um lojista, com o metro, mede a quantidade de fazenda que lhe solicitaram. Em uma fábrica mede-se com o relógio, o tempo que os operários trabalham. 
Há diferentes coisas que podem ser medidas; o dono da quitanda mede "pesos", o lojista "comprimentos", a fábrica "tempos". Também podem ser medidos volumes, áreas, temperaturas, etc.
Tudo aquilo que pode ser medido chama-se "grandeza", assim, o peso, o comprimento, o tempo, o volume, a área, a temperatura, são "grandezas". Ao contrário, visto que não podem ser medidas, não são grandezas a Verdade ou a Alegria.
Medir é comparar uma quantidade de uma grandeza qualquer com outra quantidade da mesma grandeza que se escolhe como "unidade".  Careceria de sentido tentar medir uma quantidade de uma grandeza com uma unidade de outra grandeza. Ninguém, mesmo que esteja louco, pretenderá medir a extensão de um terreno em quilogramas, ou o comprimento de uma rua em litros.
A Física não trabalha com números abstratos. O fundamental é medir e o resultado da medição é um número e o nome da unidade que se empregou. Assim, pois, cada quantidade fica expressa por uma parte numérica e outra literal. Exemplos: 10 km; 30 km/h; 8h.
Opera-se com as unidades como se fossem números; assim:


A GRANDEZA TEMPO
Considerações Teóricas:
Feche seus olhos por alguns instantes. Abra-os, entao, enquanto conta "um, dois, três". Feche-os novamente. Que notou você enquanto seus olhos estavam abertos? Se você estiver numa sala comum, pouca coisa terá acontecido. Nada pareceu sofrer modificação. Mas se você tivesse estado sentado durante algumas horas, mantendo os olhos abertos, veria pessoas indo e vindo, movendo cadeiras, abrindo janelas. O que aconteceu na sala parece depender do intervalo de tempo durante o qual você observa. Olhe durante um ano, e a planta em seu vaso há de crescer, florir e murchar.
As medidas de tempo às quais nos referimos nesses exemplos dizem respeito à duração de um acontecimento e são indicadas por um "intervalo de tempo". Entretanto, também usamos medidas de tempo para definirmos quando se deu tal acontecimento e, nesse caso, estamos indicando um "instante de tempo".
Para medirmos intervalos de tempo podemos usar apenas um cronômetro - ele é destravado, parte do zero, e mede a extensão de um intervalo de tempo.
Por outro lado, para medirmos instantes de tempo podem ser medidos com as mesmas unidades e entre elas as mais comumentes usadas são a hora, o minuto e o segundo.
As relações entre estas três unidades são muito conhecidas, mas vamos mencioná-las aqui:
1 h = 60 min
1 s = 1/60 h
1 min = 60 s
1 s = 1/3600 h
1 h = 3600 s
1 min = 1/60 h
Experiências:
Para auto-avaliação responda as perguntas em negrito
Cada grupo de alunos escolherá um voluntário para que meça o seu batimento cardíaco. Meça o número de vezes que o coração bate em um minuto (1 min).
Agora, o mesmo voluntário usado na 1ª experiência, dará 20 pulos seguidos, após os quais
novamente se medirá o número de vezes que seu coração baterá em um minuto.
Exercícios
1- Como se classifica o tempo de um minuto (instante ou intervalo de tempo) no qual se verificou o número de batidas do coração ? Justifique.
2- Supondo que a primeira medida (antes dos pulos) do batimento cardíaco do
aluno tenha se iniciado exatamente às 9 h 10 min e 40 s, em que instante terminou
de ser feita tal medida ?
3- Supondo a segunda medida (após os pulos) do batimento cardíaco do aluno tenha
terminado exatamente às 9 h 50 min e 10 s: em que instante começou a ser feita tal
medida ?

Respostas


As Grandezas comprimento, área e volume
Comprimento:
A unidade de comprimento é o metro (m), o qual pode ser dividido em 100 centímetros (cm) ou 1000 milímetros (mm). O múltiplo do metro mais usado é o quilômetro (km), que vale 1000 m.


Figura 32



ÁreaA unidade de área é o metro-quadrado (m2). Muitas vezes se faz confusão nas medidas de área, pois um quadrado com 10 unidades de comprimento de lado contém 10 x 10 = 100 unidades de área (Fig.32).
Assim 1cm = 10mm, entretanto, 1cm2 = 100mm2, o que explica ao examinarmos a figura 8. Da
mesma forma:
1 m2 = 1m x 1m = 100cm x 100cm = 10000 cm2
1 m2 = 1000mm x 1000mm = 1.000.000 mm2
Exercícios envolvendo comprimento e área
1- Quantos metros quadrados contém um quilômetro quadrado ?
2- Quantos metros quadrados contém uma quadra de esportes com 100 m de lado ?
3- Um terreno mede 10 m de frente por 30 m de fundo. Qual sua área ?
4- Um alqueire paulista são 24.200 m2. Uma chácara retangular tem um alqueire e mede 100 m
de frente. Quanto ela mede de fundo ?

Respostas



VolumeA unidade é o metro cúbico (m3). De forma análoga à área, podemos provar que um cubo com 10 unidades de comprimento contém 10 x 10 x 10 = 1000 unidades de volume (Fig. 33).


Figura 33
Obtém-se assim que:1m3 = 1m X 1m X 1m = 100cm X 100cm X 100cm = 1.000.000 cm3.
Uma unidade muito usual de volume é o litro (l), definido como o volume de um cubo com 10 cm de lado. A milésima parte de um litro é o mililitro (ml). a maioria das garrafas tem seu volume, escrito no rótulo, e gravado no fundo das garrafas, expresso em mililitros (ml). 
Também estão expressos em ml os volumes de vidros de remédios, mamadeiras, frascos de soro hospitalar, etc.
Exercícios envolvendo volume:
1- Quantos cmcontém um litro (l) ?
2- Quantos cm3 contém um mililitro (ml) ?
3- Quantos litros contém um m3?
4- Uma caixa de água mede 50 cm x 50 cm de lados e tem 50 cm de altura.Qual o seu volume?
Quantas garrafas de guaraná, de 333 ml cada uma podem ser enchidas com a água
desta caixa?
5- Uma piscina tem 50 m de comprimento, 25 m de largura, 2 m de profundidade.
Qual a área de sua superfície ?
Qual o volume de água que ela contém, quanto totalmente cheia ?
Quantas mamadeiras, de 250 ml, você poderia encher com toda a água desta
piscina?

Respostas
Medidas práticasMaterial
  • 1 caixa de palitos de fósforo
  • 1 régua milimetrada
Procedimento Experimental1- Medir, com a régua, o comprimento, a largura e a altura da caixa de fósforos e, de posse
dessas medidas, calcular:
a) a área da face menor da caixa.
b) a área da face maior da caixa.
c) o volume da caixa.
2- Tendo o volume da caixa de fósforos, meça agora o volume de um palito de fósforo e
determine, através de cálculos, o número aproximado de palitos que cabem numa caixa cheia.
Qual o resultado encontrado?
3- Verifique, na prática, quantos palitos enchem completamente uma caixa de fósforos.
4- Caso haja uma diferença considerável (superior a 10 palitos) entre seu cálculo e a contagem
prática, dê explicações que justifiquem tal diferença.

Respostas



A Grandeza Massa: Introdução
O sistema métrico decimal foi criado pela Revolução Francesa, que com isso tentou uma renovação não apenas na vida social, mas também nas Ciências.
Originalmente se definiu como unidade de massa, a massa de um litro de água a 150 C. Essa massa foi chamada de um quilograma (1 kg). Mais tarde percebeu-se o inconveniente desta definição, pois o volume da água varia com a pureza da mesma. Passou-se, então, a adotar como padrão de massa um certo objeto chamado "padrão internacional de massa". Tal padrão é conservado no Museu
Internacional de Pesos e Medidas, em Sèvres, Paris. A massa deste objeto é de 1 kg. Dentro do possível, fêz-se que a massa deste padrão fosse igual à massa de 1 litro de água destilada a 150 C. Os submúltiplos mais comuns do quilograma são o grama (g) e o miligrama (mg), sendo 1 kg = 1000 g e 1g = 1000 mg. O múltiplo mais usual do quilograma é a tonelada (t), sendo 1 t = 1000 kg.
Exercícios envolvendo massa e volume
1- Quantos miligramas contém 1 kg ? e 1 t ?
2- Quantos gramas contém, 1t ?
3- Qual é a massa de 1 m3 de água ?
4- Qual é a massa de 1 ml de água ?
5- Uma caixa de água mede 50 cm x 50 cm de base e 50 cm de altura. Qual o seu
volume? Qual a massa de água que a enche completamente ?
6- Quantos litros de água cabem em um tanque cúbico de 2 m de lado ?


Fonte:Educar.sc.usp.br

Cálculo da possibilidade de acertar a Mega Sena.



Como poderemos perceber a seguir, nossa probabilidade de acertar as seis (6)
Dezenas da Mega-Sena é bem pequena. Considerando que concorremos com
Seis (6) Dezenas, poderemos calcular nossas possibilidades com a seguinte
Fórmula Matemática:
                                  60 x 59 x 58 x 57 x 56 x 55
                                            6! (Fatorial)

Obs: Dividimos por 6!, pois a ordem do sorteio não altera o resultado, para cada
         6 Dezenas temos 720 Combinações diferentes. Sendo assim, Teremos:

                                        36.045.979.200
                                                720

Que é = 50.063.860 , Portanto, nossa probabilidade é de uma chance em 50.063.860


Cálculos de Matrizes Exercicios Resolvidos




Sistemas Digitais - Algebra





Cálculos de Equações do Segundo Grau



Equações do Segundo Grau
No Link abaixo, são apresentados outros exemplos de cálculos
para equações do Segundo Grau, tais como: Equações Completas,
Equações Incompletas, Baskara e Equações Fracionárias do
Segundo Grau.
Outros Exercícios: Resolvidos

Ótima Tabela Periódica



CLIQUE NA IMAGEM


Cálculos de Limites Exercícios Resolvidos



Segue uma lista de problemas com resolução:
  • Limites -> Análise de Exercícios

  • Limites -> Cálculo 1

  • Limites -> Constante

  • Limites -> infinito





  • Mais Cálculos de Limites (video)

  • Desigualdades e Funções

  • Continuidade

  • Teorema do Sanduiche

  • Derivadas Via Limites

  • Regra da Cadeia

  • Máximos e Minimos

  • Derivadas Implícitas

  • Diferenciais e Aproximações

  • Taxas Relacionadas e Máximo

  • Método de Newton

  • Regra de L.Hospital1

  • Regra de L.Hospital2

  • Concavidade

  • Aplicações de Derivada

  • Soluções de Aplicações da Derivada

  • Integração por partes1

  • Integração por Substituição

  • Área entre Curvas




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